Pontuando suas dúvidas:

1 - Como tá confuso de entender, prefiro que olhe diretamente no manual, na página 17 e 26 tem exemplos diferentes de movimento/distância para você mostrar para seus colegas;

2 - Não, ele só passa a crescer as outras cidades restantes se baseando na contagem atual;

3 - Sem o avanço tática (ver página 24 do manual) você não pode movimentar tropas. Então não teria como você avançar para tomar uma cidade. Mas sobre o que você perguntou de poder usar o edifício sem ter o avança, nesta mesma página você vê o comentário falando sobre;

4 - Não vi algo negando isso, mas é estranho querer fazer isso já que o objetivo da ação é ganhar pontos ou realizar objetivos com a influência. Na página 24 do manual fala que ao tomar um assentamento de alguém e você não ter peça pra substituir, você apenas o remove. Só que isso é quando você toma uma cidade por completo, já que a ação de influência deixa o dono da cidade continuar usando o edifício, creio que isso não possa ser feito;

5 - Pode, mas você apenas remove a cidade do adversário por completo. Recebe 1 ouro por cada peça de cidade (ver página 24).

Cara, tem tudo no manual, mas vamos lá:

 renanrizzo::Bom dia, preciso de ajuda com algumas coisas.

1- Como é contado a distância entre as coisas? Um amigo meu me questionou como funcionava e eu sei como funciona, mas n consegui achar nada no manual que provasse que eu estava certo. Mas basicamente a duvida é a seguinte: eu expliquei que quando esta frase aparece "você precisa ter uma cidade inimiga a pelo menos 3 de distância" a distância é contada a partir do primeiro espaço da cidade dele pela rota mais curta:
  

Estou correto? Se sim, onde no manual explica isso?

Sim, está. Página 17 tem uns exemplos.

 renanrizzo::2- Hipótese: um jogador com 3 assentamentos é atacado e perde uma de suas cidades. No momento em que ele perde o assentamento ele deve perder edifícios em cidades que ele tenha mais do que 2 edifícios?

Não. Página 9 do manual.

 

 renanrizzo::3- Hipótese: invadi uma cidade de um jogador adversário que tem uma fortaleza, mas eu não tenha o avanço de tática (não posso construir fortaleza) ainda sim posso tomar a cidade?

EDIT: como o colega acima falou, sem o Avanço de Tática você não consegue mover unidades militares. Mas, sim, sem determinados avanços você ainda pode tomar cidades com construções que não pode construir (Pagina 24 do manual).

 renanrizzo::4- Posso influenciar um edifício que eu não possa construir?

Acredito que sim (não fala nada contra no manual), desde que você tenha a peça ainda disponível na sua reserva. Páginas 16 e 17 do manual:
 

 renanrizzo::5- Eu posso atacar uma cidade inimiga sem ter assentamentos na minha reserva? Se eu atacar eu tomo controle apenas dos edifícios (como se fosse influencia cultural)?

Sim, pode. Toda a cidade é destruída. Página 24 do manual:





Caso inglês não seja problema para você, esse vídeo tem todo o manual bem explicado:
Clash of Cultures Monumental Edition - How to Play Base Board Game + Expansions

Obrigado pessoal! Todas as duvidas foram sanadas.
E eu dei o exemplo de tática pq era a única tecnologia/construção que eu sabia de cabeça kkkkkk acabei nem me atentando a questão do movimento, mas a duvida foi sanada.