Olá, por partes:

1 - Não. A Ação gratuita dela causa dano. Os sucessos para completar missão não são considerados Dano

2- Nesse caso, acredito que nada acontece (a carta da missão descreve bem de onde você pode conseguir a carta do Hondo) 

3- Não. No Manual a ação gratuita dele está melhor explicada:
A Ação Livre dele é um ataque extra, no qual ele pode contar usar todas as cartas de clones (vermelhas e roxas - que são as que acrescentam dano) como sendo vermelhas, especificamente nesse ataque. Assim ele pode misturar roxas e vermelhas livremente nessa ação de Ataque especial.
Se ele fizer uma ação de ataque normal (usando uma das 4 ações normais do turno) não pode usar essa habilidade.
Tematicamente: O Anakin era tão porradeiro, que de vez em quando ele convencia os Clones Furtivos do esquadrão dele a se juntarem com a tropa de choque por um dia.

4 - Sim, droides não atrapalham na conclusão das missões.

Espero ter ajudado
Abraços

Ajudou sim, obrigada ☺️
Seguindo essa lógica, a ação extra do Anakin não pode ser utilizada para completar missão também, certo?

Isso, a ação extra do Anakin é um ataque.
Ataque e dano são uma coisa, sucessos para completar missão são outra. 

Só uma correção sobre o poder do Anakin. O próprio designer do jogo explicou no BGG.

Quote: For Anakin's ability, you can exhaust any types of cards: assault, stealth, armor, transport, and ally, in any combination.

The clarification is just meant to convey that even if Anakin exhausts only stealth cards during the attack, they still count as assault, so other Jedi can exhaust only assault cards to help out.

Citação: Para a habilidade de Anakin, você pode exaurir qualquer tipo de carta: assalto, furtividade, armadura, transporte e aliado, em qualquer combinação.

O esclarecimento pretende apenas transmitir que mesmo que Anakin esgote apenas cartas furtivas durante o ataque, elas ainda contam como ataque, então outros Jedi podem esgotar apenas cartas de assalto para ajudar.