Não entendi sua dúvida...
Mas vou tentar ajudar.

Até onde sei, monstros não prendem você, então está do adjacente lu não a qualquer criatura você vai poder mover pra onde quiser, dependendo da quantidade de movimento que você escolher nas cartas. Lembrando que você e/ou os monstros só realizam ações de acordo com suas cartas. 

Ao realizar movimento você pode se mover de zero hexágono até a x hexágono. (X = a quantidade máxima que a carta lhe dá junto com bônus de artefatos ou qualquer outro meio.)

O que você quer dizer com engajado? Não lembro de ver nada disso no jogo 

O engajamento (que há em Mage Knight, por exemplo) não existe em Gloomhaven.

Quanto à segunda dúvida, via de regra, vc PODE se mover desde que tenha selecionado uma carta que contenha "mover" para aquela rodada.

Obs.:  Em alguns casos, você SERÁ movido por efeito de uma carta/ação de seus aliados  (tem personagem, por exemplo, que possui cartas com o poder de mover um aliado dele).

- não existe nenhuma regra de engajamento no Gloomhaven

- você sempre pode optar por não realizar a ação das cartas (seja a da parte de cima, ou a de baixo) que vc escolheu para a rodada. Se no texto da carta gerar algum outro efeito (tipo invisibilidade, ou cura, ou criar um elemento), ao resolver não fazer o movimento vc também não resolve esses efeitos secundarios. Lembrando que no movimento é possivel fazer um percurso e voltar pro mesmo lugar onde vc estava (ex.: com 2 de movimento vc pode andar pra uma casa à frente e depois voltar pro hexagono onde começou o turno)

MatosCaio::- você sempre pode optar por não realizar a ação das cartas (seja a da parte de cima, ou a de baixo) que vc escolheu para a rodada. Se no texto da carta gerar algum outro efeito (tipo invisibilidade, ou cura, ou criar um elemento), ao resolver não fazer o movimento vc também não resolve esses efeitos secundarios. Lembrando que no movimento é possivel fazer um percurso e voltar pro mesmo lugar onde vc estava (ex.: com 2 de movimento vc pode andar pra uma casa à frente e depois voltar pro hexagono onde começou o turno)

Para questão de movimento você se mover até x hexágono. Se quiser se mover 0 hexágono (ou seja, ficando no mesmo lugar) você pode, não precisa andar e voltar. Até pq pode ter situação em que você, sem salto ou vôo, fica sem possibilidade de movimento, e para fazer a ação de mover da carta você pode fazer ficando "parado".

Você pode se mover sempre que utilizar uma carta que contenha "Mover X" ou então se utilizar a habilidade genérica inferior de "mover 2", mas lembrando que você ou o monstro só podem atravessar aliados (você atravessa outro jogador) (monstro atravessa outro monstro), se o caminho estiver bloqueado por um inimigo jogadores/monstros só podem passar por cima caso possuam a habilidade de pular ou voar. Em relação a "engajamento" não tem isso no gloomhaven. Você não é obrigado a se mover ou realizar um ataque/habilidade caso não queira, pode simplesmente pular o movimento e ficar parado no lugar, e/ou pular habilidade/ataque e não performa-la.

De onde você tirou regras de engajamento pra Gloomhaven? Estão jogando sem ler o livro de regras?