Eu não tenho o jogo, mas já li algumas vezes as regras e espero poder ajudar.
1. "The player" se refere ao jogador que possui esse personagem e executa a ação. Se fosse ativado por qualquer outro jogador estaria escrito "players" para indicar isso.
2. A primeira, segunda e quarta ações das Lanternas não são ações extras, mas sim ações "turbinadas". Elas são feitas no lugar das ações obrigatórias (colocar um tile ou uma decoração) ou quando vc pode influenciar um novo personagem. Ex: ao invés de vc colocar um tile, vc escolhe gastar a primeira lanterna e coloca dois tiles no tabuleiro, seguindo as regras de colocação e pontuação.
A terceira sim seria uma ação extra (mover um personagem), pois até onde me lembro, depois de alocado no tabuleiro, vc não muda mais a posição do personagem.
Em relação à quarta ação, é o que vc mesma disse: quando vc avançar no seu tabuleiro e puder influenciar um novo personagem, ao invés de escolher entre os dois disponíveis, vc pode gastar a quarta lanterna para escolher qq personagem do deck (embaralhando o deck após sua escolha). O mesmo vale para quando for usar a ação de colocar uma decoração.
3. Sim. Está inclusive escrito isso no manual, na página 5: "Additionally, all edges of a special garden tile can enclose terrain, which can help earn additional advancement."